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Procedure per trovare gli assi di un ellisse dati una coppia di diametri coniugati
1-
Costruzione di una ellisse, data una coppia di diametri coniugatiData una coppia (R'S'') (Q'P') di diametri coniugati, incidenti in E', di una ellisse F.
per costruire gli assi si procede come segue:
- si traccia per uno degli estremi di un diametro, ad esempio P, una retta u parallela all'altro coniugato.
- si costruisce la perpendicolare i ad u nel punto P;
- si trova il punto H, intersezione tra la retta Q'R' con l'asse u.
- si disegna la circonferenza D* con centro P e raggio PH
- si trova il punto Q* intersezione di D con i.
- si traccia la circonferenza G con diametro PQ*.
- la direzione d'affinità U¥ è la parallela alla retta congiungente i punti corrispondenti C'C*.
- si trova il punto medio M del segmento C'C* e vi si traccia
la perpendicolare e che incontra u in O.
- si traccia la circonferenza F con centro O raggio OM.
- si individuano i punti F, G, nei punti d'intersezione di F con u.
- si tracciano le rette corrispondenti l*_l ed m*_m, per i punti F,C* _ F,C ed G,C*_G,C.
- si individuano i punti I*, L*, intersezione di l*, m* con D* e vi traccia la direzione d'affinità U¥ che incontra I*, L*, nei punti I, L, estremi dei semiassi dell'ellisse cercata.
2- procedura (rif.: Geometria descrittiva A. Capo A.A. 1986-87)
Sequenza della operazioni grafiche:
- si traccia una circonferenza di raggio a piacere passante per il centro dell'ellisse C
- si trovano i punto B-B', A-A', intersezione tra la coppia di diametri assegnati con la circonferenza.
- si trova il polo, intersezione tra le rette passanti per i punti B-B', A-A' .
- si trovano i punti R,T, puni d'intersezione tra il diametro (Polo-O) con la circonferenza.
- si trovano gli assi dell'ellisse unendo i punti R, T con il centro dell'ellisse C.
Il seguente testo è in fase di elaborazione (Autore prof. Nasini)
DETERMINAZIONE DEGLI ASSI DI UN’ELLISSE, DATA UNA COPPIA DI DIAMETRI CONIUGATI – COSTRUZIONE “DELLE TRE CIRCONFERENZE”-
Si presuppone che i diametri A’-B’ e D’-E’ siano stati determinati in precedenza oppure assegnati. Questi possono essere considerati come proiezione parallela di una coppia di diametri ortogonali di una circonferenza il cui piano di appartenenza sia inclinato rispetto al piano di proiezione. Tra gli infiniti piani di proiezione possibili se ne considera uno passante per la corda B-D e si suppone di ruotare la circonferenza oggettiva intorno alla corda B-D fino a sovrapporla al piano di proiezione. Tra la circonferenza ribaltata (che apparirà in vera forma) e la sua proiezione obliqua (ellisse) verrà ad intercorrere un’affinità omologica in cui la retta passante per B-D è l’asse dell’affinità, i punti C’ dato e C* da determinare (centri di ‘ e di *) sono una coppia di punti corrispondenti. La direzione di affinità U è quella della retta C’- C*. In tale affinità , alla coppia di diametri coniugati assegnati A’-B’ e D’-E’ di centro C’, corrisponde la coppia di diametri di centro C* (ribaltati) che formano in C* un angolo retto e incontrano l’asse di affinità nei punti B’ e D’. Pertanto C* deve appartenere, oltre che all’asse del segmento B-D (=B’-D’), anche ad una semicirconferenza di diametro B’D’, quindi C* viene individuato come punto comune tra l’asse di B-D e la circonferenza di diametro B-D. Trovato C* si può quindi tracciare la circonferenza di centro C* e raggio C*- B’= B che si identifica come circonferenza oggettiva ribaltata. Fatto ciò si ricerca una coppia di diametri ortogonali di * che abbia come corrispondente una coppia di diametri ortogonali dell’ellisse, ovvero gli assi dell’ellisse. A tal fine si costruisce la circonferenza passante per C’ e per C* il cui centro (K) si trovi sull’asse di affinità u. Per individuare il centro K si costruisce l’asse del segmento C’-C*. Siano P e Q i punti diametralmente opposti in cui questa 3a circonferenza incontra u . Alla coppia di diametri C*-P e C*-Q , ortogonali perché insistono su una semicircoferenza, corrisponde la coppia di diametri dell’ellisse passanti per gli stessi punti P e Q di u , ortogonali tra loro per la stessa ragione e pertanto assi dell’ellisse ‘. Gli estremi degli assi dell’ellisse si trovano come punti corrispondenti nell'affinità (di asse u, direzione di affinità quella della retta C’-C* ).Immagine e testo originale da inserire (autore prof. Nasini)
